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Manfred Baier

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Vorüberlegungen zur Digitaltechnik

Grundsätzliches

Es ist unbestreitbar: Digitales Audio besitzt gewisse Vorzüge. Gemeint ist hier zuletzt die Bequemlichkeit, mit der man vom Sessel aus per Fernbedienung Musikstücke auswählen kann.

In vielen Diskussionen wird zunächst die Eindeutigkeit der Zahlenwerte genannt, die auf CD oder einem anderen Medium gespeichert und wieder gelesen werden. Dieses Argument gehört zur Quantisierung, d.h. der Abbildung einer augenblicklichen Signalamplitude (oder Signalhöhe) mit Hilfe einer Zahl innerhalb des durch das Bit-Format vorgegebenen Zahlenraums.

Das zweite Argument betrifft die exakt definierte Bandbreite bei der Aufzeichnung und Wiedergabe. Es gehört zu einer Idee, die auf H. Nyquist (1924) zurückgeht und erst etwa 20 Jahre später von C. Shannon (1946-48) mit zugleich weitergehenden Betrachtungen ihre mathematische Darstellung fand:

Das Abtasttheorem

Dieses Theorem besagt, das ein analoges Signal dann perfekt rekonstruiert werden kann, wenn nur seine Augenblickswerte mit einer (Abtast-) Rate aufgezeichnet werden, die dem 2-fachen der höchsten im Analogsignal enthaltenen Frequenzkomponente entspricht. Anders ausgedrückt: Die Abtastrate (oder Sampling-Frequenz) bestimmt die Bandbreite des Audiosignals das übertragen werden kann in der Weise, das die Bandbreite niemals größer sein kann als gerade die Hälfte der Sampling-Frequenz. Zum Beispiel bei der CD mit einer Abtastrate von 44100 Samples/s beträgt die maximale Bandbreite (Übertragungsbereich) 22050 Hz. Diese Frequenz-Grenze wurde 'Nyquist-Frequenz' benannt. Nun ist längst bewiesen -auch durch eigene Untersuchung-, das die Nyquist-Frequenz eben gerade nicht mehr zum Übertragungsbereich gehören kann. Daher darf das sogenannte Abtastheorem nur noch in der Form Samplingfrequenz FS > 2 * FA geschrieben werden. Auf etlichen Internetseiten zum Thema ist das noch immer nicht der Fall.

Erlaubt das Abtasttheorem in dieser Form die perfekte Rekonstruktion des Analogsignals? Die Antwort kann meines Erachtens nur lauten: Ja und Nein.

Ist das (mathematisch bewiesene!) Abtasttheorem dann falsch? Antwort: Nein.

Passt das zusammen? Antwort: Ja.

Der entstandene Widerspruch ist ein scheinbarer, ebenso wie das Ergebnis welches beim Sampling eines Tons der Frequenz 20 kHz mit der Abtastrate 44.1 kHz scheinbar eine Schwebung zeigt (Abgesehen davon, das der Begriff 'Schwebung' etwas völlig anderes meint, taucht er in diesem Zusammenhang dennoch öfter in der Diskussion auf.)

Nach der Definition des Abtasttheorems dürfen ausschließlich Frequenzanteile im Signal enthalten sein die innerhalb der digitalen Bandbreite liegen. Es ist also erforderlich, die Bandbreite des ursprünglichen Audio-Signals durch Filterung streng zu begrenzen bevor das Signal im AD-Wandler digitalisiert werden darf.

Für die Frage nach der perfekten Rekonstruktion lautet demnach die Antwort eindeutig Ja für exakt das digitalisierbare, also in der Bandbreite entsprechend zugeschnittene Signal.

Allerdings muß die Antwort Nein heißen in Bezug auf das vor jener Filterung vorhandene analoge Audio-Signal. Die Form des Ursprungssignals war ganz sicher eine andere, sonst könnte man sich den Aufwand des Filterns ohnehin ersparen. Aber gerade die Notwendigkeit der Begrenzung der Urspungsbandbreite erlaubt unbedingt logisch den Schluß, das im Ursprungssignal durchaus höhere Frequenzanteile (und damit ist nicht nur 'Rauschen' gemeint) vorhanden sind. Shannon war sich dieses Umstands jedenfalls noch bewußt. Siehe Zitate in anderen Arbeiten aus unserer FuE.

Woher stammen die höheren Frequenzanteile, welche für die Digitalisierung zunächst ausgefiltert werden müssen?

Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir kurz die Kette anschauen, welche ein Schallereignis durchläuft. Das Schallereignis selbst besitzt - von der etwas höheren Dämpfung die hohe Frequenzen durch Stoßverluste an Luftmolekülen erleiden abgesehen - keine Filtereigenschaften. Luft überträgt die Schwingungen von Stimme, Trompete, Becken und Klavier mit den dieser Klangerzeugung typisch vielfältigen Harmonischen zunächst ohne Bandbegrenzung. Ein Mikrofon nimmt die Schwingungen des Original-Schalls auf und wandelt sie in elektrische Schwingungen. Besitzt das Mikrofon eine Bandbreite von 20 kHz (viele sind besser), so bedeutet es eben nicht, das dessen Übertragungsfähigkeit hier abrupt endet. Höhere Frequenzen werden durchaus in ihrem Pegel abgeschwächt an den entsprechenden Verstärker abgegeben. Selbst wenn dieser Mikrofon-Verstärker nur eine Bandbreite von 20 kHz besitzt (die meisten sind besser), bedeutet dessen Abfall in der Regel 'nur' eine weitere Dämpfung höherer Frequenzen mit einem definierten Verlauf, im besten Falle anfangs -6 dB/Oktave, bei noch höheren Frequenzen -12 dB/Oktave oder sogar mehr.

Das gleiche gilt für nachfolgende Verstärkerstufen. Im Ergebnis bleibt genügend übrig, das für die Digitalisierung wegzufiltern bleibt. Und eben zur Vermeidung von Alias-Effekten weggefiltert werden muß! Das Ursprungssignal erfährt demnach eine Veränderung bereits im Mikrofon und den erforderlichen Verstärkerstufen, seine Qualität wird jedoch durch diese harte Begrenzung der Bandbreite und nachfolgendes Sampling auf nicht mehr rekonstruierbare Weise verändert, egal wie geringfügig.

Einschwingverhalten

Je näher man mit der digital genutzten Bandbreite der Nyquistfrequenz (FS/2) kommt, umso elementar schlechter wird das Einschwingverhalten sobald sich die zu digitalisierende Signalfrequenz dem oberen Ende der Bandbreite nähert. Dieser Effekt ist in solcher Form einem analogen System völlig unbekannt. An dieser Stelle sei die Wiedergabe einer Anekdote erlaubt, die mir vor vielen Jahren mein Freund Dr. F. Schäfer (Wuppertal) erzählte. Als die ersten modernen digital arbeitenden Herzschlagmonitore in die Kliniken kamen wunderten sich die Mediziner: Jeder einzelne Herzschlag besaß eine ihm eigene Amplitude. Hatten die bisherigen analogen Geräte Müll gemessen und mußten nun die Erkenntnisse zum Herzschlag aufgrund der digitalen Messung neu befundet werden? Nein, es stellte sich heraus, das die Entwickler des digitalen Geräts das Abtasttheorem zu wörtlich nahmen und eine zu geringe Sampling-Frequenz verwendet hatten. Man kann nun leicht sagen, dieser Fehler sei lediglich Schlamperei gewesen. Oder man hatte eben das Abtasttheorem nicht verstanden. Das wäre jedoch zu einfach. Über Einschwingvorgänge und Impulse sagt das Abtasttheorem nämlich nichts aus, erst bei näherem Hinsehen erkennt man diese Tücke. Bei weiterem Interesse sei auf entsprechende Artikel aus unserer FuE verwiesen.

Persönliches

Wir haben zu keinem Zeitpunkt behauptet, das Abtasttheorem sei falsch, oder der mathematische Beweis sei falsch. Das wäre natürlich abwegig. Wer das unterstellt, erhebt seinen Intellekt arrogant über den anderer Menschen. Dem Mathematiker mag diese Form allemal genügen und er ist es zufrieden. Der Physiker oder Mediziner hat womöglich andere Prämissen beim Einsatz digitaler Techniken und wird seine Sampling-Frequenz entsprechend wählen müssen. Dementsprechend versuchen wir, die Prämissen für ein der menschlichen Wahrnehmung angepaßtes Digital Audio zu finden. Bei diesem Versuch sind viele unterschiedliche physikalische und physiologische Systeme zu berücksichtigen. Letztlich geht es um die kulturell bedeutsame Frage, in welchem Format wir der Nachwelt unsere Töne hinterlassen (und sie natürlich selbst genießen). Die Frage nach einem 'Consumer-Standard' der aus einem optimalen Aufzeichnungsformat gemacht wird ist dann eine ganz andere.

Solche Bemühung für 'überflüssig' oder 'unwissenschaftlich' zu halten, verhinderte jede weitere Forschung.

Manfred Baier
Giessen, im Dezember 2004