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Digitalisierung kontinuierlicher Signale

Das Sampling

Sampling bedeutet das Nehmen von Proben. Beim Sampling von Tönen (z.B. Musik) bestehen die Samples aus den Augenblickswerten der Amplitude des Signals, welche in einem stets gleichen zeitlichen Rasterabstand (mit der sog. Abtastrate) genommen werden. Jedes Sample besitzt eine Dauer seiner Gültigkeit bis zum nächsten eintreffenden Sample. Bei der CompactDisc (CD) beträgt die Zeitdauer der Gültigkeit eines Samples 1 / 44,1 kHz = 22.68 µs. Für diese Zeit bleibt auch die gesampelte Amplitude gültig, erst das folgende Sample erneuert die Amplitude auf den in ihm gespeicherten Wert. Aus diesen Eigenschaften erhält man als Repräsentation des ursprünglich kontinuierlichen Musiksignals eine in Zeit und Amplitude wertdiskrete Treppenfolge.

Eine derartige Treppenfolge besteht aus einer ganzen Anzahl spektraler Komponenten, die in der Frequenzdarstellung als Linien mit charakteristischer Amplitude auftreten (siehe Artikel über Fourier-Komponenten der Signalformen). Bereits Nyquist wußte aufgrund der Arbeiten von J.B. Fourier, das die im Aufbau der gesampelten Treppenfolge enthaltenen Frequenzen nur oberhalb der halben Abtastfrequenz liegen können. Aus dieser Tatsache schloß Nyquist, das zur Herstellung des ursprünglichen Analogsignals lediglich sämtliche Frequenzanteile oberhalb FS/2 durch Filterung eliminiert werden müßten um wieder das Analogsignal zurück zu gewinnen. Das ist im Prinzip richtig, allerdings steckt der Teufel im Detail. Betrachten wir zunächst einige Beispiele für gesampelte Sinussignale und deren Treppenfolgen inclusive den zur Treppenfolge gehörenden Fourier-Komponenten.

Zunächst ein Ton mit der Frequenz 1 kHz und dem Pegel 0 dBFS. Im nebenstehen Bild ist seine Spektrallinie als dicker roter Balken dargestellt. Zur Orientierung ist ebenfalls die zur Eliminierung von Fourier-Komponenten höherer Frequenz erforderliche Filtercharakteristik eingezeichnet, welche bis 20 kHz (der oberen Grenze des Übertragungsbereichs) gerade bei 0 dB verläuft, oberhalb von 20 kHz jedoch steil abfällt und bei FS/2 und darüber eine Dämpfung von >90 dB besitzen soll. Im rechten Bild sehen wir die Zeitfunktion des 1-kHz-Tons, das Zeitraster des Sampling mit FS = 44,1 kHz (CD) oder - anders ausgedrückt - dem Zeitabstand der Samples von 22,68 µs. Ebenfalls eingezeichnet ist die oben erwähnte Treppenfolge (blau) aus den Werten der einzelnen Samples und ihrer jeweiligen Dauer der Gültigkeit seines Amplitudenwerts.

Im linken Bild ist das Spektrum für diese Treppenfolge angegeben. Die Frequenz ihrer Grundwelle liegt ziemlich genau bei der Abtastfrequenz FS, der Pegel (Amplitude) der Grundwelle liegt etwa bei -33 dB. Genau genommen handelt es sich um zwei Harmonische (Spektralpaare), was hier aber von untergeordneter Bedeutung ist.

Zusätzlich ist der Abstand vom analogen Ursprungssignal 1 kHz zur ersten Spektralkompomonente angegeben mit 32,7 dB. Eine derartige Angabe ist meines Wissens zuvor niemals gemacht worden, ich kann allerdings keinen Grund erkennen, weshalb sie nicht erlaubt oder gar falsch sein sollte. Alle Verhältnisse, die letztlich auf einen nicht linearen Zusammenhang in der Wahrnehmung zurückgehen, wie z.B. Fremdspannungsabstand, Pegelunterschiede wie Verstärkung oder Dämpfung, Klirrgrad usw. werden im logarithmischen Verhältnismaß dB (deziBel) ausgedrückt. In der Wahrnehmung sind Tonhöhen ebenfalls logarithmisch gleich verteilt. Eine höhere Oktave ergibt sich aus der Verpoppelung der Frequenz, man kann auch sagen: Der Frequenzabstand zur nächsthöheren Oktave beträgt 6 dB. Oder der Hörbereich von 20-20000 Hz besitzt eine Dynamik von 60 dB. Da wir gewohnt sind mit dBel umzugehen, erlaubt seine Anwendung auf Frequenzen eine ähnlich gute Beurteilungsmöglichkeit wie bei Pegeln. Zurück zum Thema.

Betrachten wir noch einige Beispiele der Treppenfolgen aus dem Prozeß des Sampling bei höheren Tonfrequenzen.

Eine Tonfrequenz von 2,76 kHz enspricht FS/16. Rechts ist die Treppenform des Sampling gut erkennbar. Im linken Bildist der Abstand zur ersten auftretenden Fourier-Komponente mit 23,5 dB angegeben. Jetzt schon gut zu erkennen, das es sich um Spektralpaare handelt, der Pegel der ersten Linie ist bei -23,5 dB schon deutlich höher als im vorhergehenden Beispiel. Auch die höheren Spektrallinien der Treppenfolge sind im Pegel aufgerückt.

Im nächsten Beispiel hat der gesampelte Ton die Frequenz 5,5 kHz, die zugehörigen Treppenstufen fallen deutlich grober aus und ihr Spektrum ist wiederum im Pegel gestiegen, die erste Harmonische mit einer Amplitude von 16,9 dB. Spätestens jetzt ist auffällig, das der Abstand vom gesampelten Ton zur ersten Spektrallinie der Abtastung und deren Amplitude dem Wert nach gleich sind, eine Eigenheit, welche die Angabe eines Frequenzverhältnisses in dB zusätzlich sinnvoll erscheinen läßt weil hierdurch die Zusammenhänge sehr viel deutlicher werden. Nehmen wir ein letztes Beispiel zur Abrundung.

Eine Tonfrequenz von 18 kHz wird gesampelt. Wie zu erwarten war sind die Treppenstufen noch grober geworden, der Abstand zwischen dem 18-kHz-Ton und der ersten Spektrallinie der Treppe beträgt nur noch 3,2 dB, genau wie ihr Pegel. Leicht zu erkennen, wie nah die erste Spektrallinie bereits an FS/2 herangerückt ist. Es wird immer deutlicher, weshalb an das Filter eines CD-Spielers die bereits genannten hohen Anforderungen bezüglich Steilheit und Dämpfung oberhalb 20 kHz bis FS/2 und darüber gestellt werden müssen: Die Energie aus den spektralen Komponenten der Samples muß weg.

Verwundert nur noch die Frage, weshalb die Energie aus der Treppencharakteristik der Samples überhaupt eliminiert werden muß. Bekanntlich 'hören' wir nur bis maximal 20 kHz, und auch das nur in jungen Jahren. Gerade deshalb können doch eigentlich Frequenzanteile - ob sie nun aus dem Schallsignal oder seiner Digitalisierung stammen - 'oberhalb unseres Hörbereichs' den Höreindruck selbst garnicht stören. Offensichtlich ist die Sache mit dem Hörbereich nicht ganz so einfach.

Das die Entwicklung eines derartigen Filters keine leichte Aufgabe ist, ist hinlänglich bekannt. Ob sich die Arbeit hinsichtlich des musikalischen Ergebnisses überhaupt lohnt, werden wir noch untersuchen. Tatsächlich machen sich kaum Entwickler von hifi-Geräten diese Arbeit, es gibt fertige Chips, die einfach eingesetzt werden können.

Auf die Eigenheiten bei Aliasing und Antialiasing gehe ich hier nicht weiter ein, sie sind aus der Literatur weitgehend bekannt.